ART GÉOMÉTRIQUE ET GÉOMÉTRIE ARTISTIQUE

MODÉLISATION 3D PRINCIPAUX OUTILS

Les  sculptures   présentées
ici peuvent être facilement tournées , déplacées ou agrandies en utilisant la barre d'outils.

En particulier, l'arborescence du modèle permet de cacher certaines figurines et ainsi d'observer les liaisons internes.
 

INTRODUCTION

La période Hellénistique, qui va de la mort d'Alexandre le Grand jusqu'au suicide de Cléopâtre et au début de la domination romaine, a connu  le siècle d'or de la  géométrie grecque avec Euclide Apollonios et Archimède.

La sculpture a aussi connu un développement spectaculaire à cette époque avec Praxitèle qui représenta pour la première fois la nudité féminine.

Mon personnage est une allégorie moderne de l'Aphrodite de Cnide et un vibrant hommage aux génies de cette époque. 

Assemblage de 6 figurines disposées selon les arêtes des bases d'un prisme à base triangulaire.

Chaque figurine est en contact direct avec chacune de ses 5 voisines. La coloration du modèle, sans que 2 couleurs identiques soient en contact direct, nécessite donc 6 couleurs. Le théorème des 4 couleurs ne s'applique pas en 3D.
 

Assemblage de 8 figurines disposées selon les arêtes des bases d'un prisme à base carrée.

Chaque figurine est en contact direct avec 6 de ses 7 voisines. Il n'y a que sa voisine de droite avec laquelle il n'y ai pas de liaison.

L'outil permet de cacher certaines parties et d' observer les liaisons internes.
 

Chaque couple de figurines d'une même couleur correspond à une arête d'un tétraèdre. On transforme l'une en l'autre  par un demi-tour dont l'axe joint le milieu de cette arête et le centre du tétraèdre.

Les outils     permettent de positionner le point de vue au niveau d'une tête et de constater que les deux figurines d'une même arête se regardent dans les yeux, sans être gênées par les mollets de leurs voisines.
 

On observe 8 liaisons sur chaque figurine (tête, épaule, mains droite et gauche, genoux droit et gauche, pieds droit et gauche).

L'outil permet de  conserver les figurines d'une même couleur. Celles ci correspondent à deux arêtes opposées et ne sont jamais en contact. La coloration du modèle, sans que 2 couleurs identiques soient en contact direct, nécessite donc 3 couleurs.
 

Les isomorphismes laissant invariant le tétraèdre sont des demis et des tiers de tours.

Les demi-tours, qui ont pour axes les droites  joignant les milieux d'arêtes opposées, conservent aussi  les couleurs.

 les tiers de tours, qui ont pour axes les hauteurs du tétraèdre, produisent une permutation circulaire des trois couleurs.

On peut remarquer une inversion du sens de rotation des couleurs, selon que le tiers de tour se situe au niveau des jambes droites ou gauches.
 

Les figurines de ce tétraèdre s'assemblent seulement par les mains et les pieds.

Les figurines face à face sont particulièrement proches sans se toucher. Cela permet d'utiliser seulement 3 couleurs pour colorer l'ensemble, sans que 2 couleurs identiques soient en contact direct.
 

Ce fractal est constitué de tétraèdres concentriques formés par 12 figurines.

On observe pour un même niveau, 5 types de liaisons (tête, main droite, pied droit, genou, cuisse)

Entre 2 générations on obtient encore 5 types de liaisons (mains droite et gauche, bras droit, épaule droite, pied gauche).

A l'état initial, il n'y a que la première génération qui soit visible. Deux autres générations peuvent être visualisées en utilisant l'outil . Le rendu peut alors être plus lent.
 

Le générateur de ce fractal est un pentagone constitué de 5 figurines liées par les jambes, les genoux et les pieds. Il se développe sous la forme d'un flocon.

A l'état initial, il n'y a que la première génération qui soit visible. Deux autres générations peuvent être visualisées en utilisant l'outil . Le rendu peut alors être plus lent.
 

Le rapport d'homothétie de ce fractal est de 2^1/3, le volume d'une mère est alors égal au double de celui de sa fille.

La duplication d'un volume est un des 3 grands problèmes de géométrique de l'antiquité grecque. Dans la légende contée par Ératosthène, les Déliens, victimes de la peste, doivent pour satisfaire la colère des Dieux, doubler le volume de l'autel consacré à Apollon...

A l'état initial, il n'y a que la première génération qui soit visible. Deux autres générations peuvent être visualisées en utilisant l'outil . Cet outil permet aussi de cacher certains groupes de figurines pour mieux observer les liaisons internes.

Il y a 4 types de liens entre les 3 figurines de même niveau (main droite, pied droit, genou droit et cuisse droite).

Il y a 3 types de liens entre mère et fille (pieds gauche et droit, mollet droit). Ces liaisons qui dépendent de l'orientation ne concernent  que certaines filles.

Enfin, on peut observer  une liaison main gauche et épaule droite entre une grand-mère et sa petite fille.
 

Ce fractal est particulièrement proche du précèdent, il n'y a que le bras gauche qui soit dans une position différente et le rapport d'homothétie est inversé.

Les liens ente figurines d'un même niveau et entre mère et fille sont restés les mêmes.

Les liaisons entre grand-mère et petite fille ont été remplacées par des liaisons entre soeurs. Il s'agit toujours de liaisons entre main gauche et épaule droite.

A l'état initial, il n'y a que la première génération qui soit visible. Deux autres générations peuvent être visualisées en utilisant l'outil . Cet outil permet aussi de cacher certains groupes de figurines pour mieux observer les liaisons internes.
 

Ce FRACTAL est construit à partir d'un tétraèdre régulier. On passe d'un tétraèdre père  aux tétraèdres fils par homothétie de rapport -1/2.  Les centres de ces homothéties étant les centres des faces visibles du tétraèdre père.

Pour une même génération, on observe 6 types de liaisons (tête, épaule gauche, coude gauche, ventre, pieds droit et gauche).

Entre générations successives, on distingue, selon l'orientation des figurines, 4 types de liaisons (mèche de cheveux droite, mains droite et gauche, cuisse droite).

A l'état initial, il n'y a que la première génération qui soit visible. Deux autres générations peuvent être visualisées en utilisant l'outil . Cet outil permet aussi de cacher certains groupes de figurines pour mieux observer les liaisons internes.
 

Vous trouverez aussi
sur mon site
http://www.polytess.info/
une présentation figurative des 19 types de pavages
du plan, ainsi que de
nombreuses applications aux polygones, spirales logarithmiques, cylindres, sphères, tores et nœuds.

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